Topologi

I kursen går vi igenom grundläggande begrepp inom mängdtopologin. Mängdtopologi är en stor och viktig hörnsten i den moderna matematiken. Från flervariabelanalysen är du bekant med det tredimensionella rummet och dess avståndsbegrepp. I topologi distanserar man sig från avstånds begreppet och reellvärda funktioner. Vi utgår istället från en samling delmängder till en given mängd. Samlingens element kallar vi öppna. Med dessa byggs teorin för topologiska rum och kontinuerliga funktioner upp. Klassiska kontinuitetsargument kan nu användas i helt nya och ofta oväntade situationer. Några viktiga typer av topologiska rum är till exempel kompakta och sammanhängande topologiska rum. Sådana egenskaper kan hjälpa oss att ta reda på om två topologiska rum är topologiskt samma sak, så kallade homeomorfa. Detta ger till exempel att ett kompakt rum inte kan vara homeomorft med ett icke-kompakt rum och ett sammanhängande rum kan inte vara homeomorft med ett icke-sammanhängande rum. Den här kursen är främst till för personer som tycker om matematiska bevis och abstraktioner. För den som inte läst mer matematik än en kurs i flervariabelanalys kan en inblick i topologins värld vara både uppfriskande och ögonöppnande.