Analytisk talteori

Analytisk talteori är den del av talteorin som använder metoder från matematisk analys för att svara på frågor om heltal i allmänhet och primtal i synnerhet. Ämnet bröt sig loss som en självständig del av talteorin under 1800-talet då arbeten av bland andra Dirichlet och Riemann visade att metoder från komplex analys kan användas för att studera primtalens fördelning bland de naturliga talen. Trots att Riemann endast skrev en artkel på 10 sidor i analytisk talteori så har Riemanns idéer genomsyrat mycket av den forskning som har genomförts under de senaste 150 åren. Riemanns fundamentala insikt var att primtalens fördelning är intimt kopplad till en komplex funktion som har fått namnet Riemanns zetafunktion. Riemanns zetafunktion har sedan dess blivit grundligt studerad, inte minst i samband med den så kallade Riemannhypotesen som beskriver var zetafunktionens nollställen ska ligga.I den här kursen kommer du att studera aritmetiska funktioner, Dirichlet serier, Riemanns zetafunktion och Dirichlets L-funktioner. Denna kunskap kommer du sedan använda för att bevisa primtalssatsen och primtalssatsen för aritmetiska följder som på olika sätt beskriver primtalens fördelning bland de naturliga talen.