Matematik: Envariabelanalys

Kursens övergripande mål är att studenterna utvecklar förståelse för centrala begrepp, resultat och metoder inom envariabelanalys och tillämpar dessa metoder för att lösa standardproblem inom differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Kursen syftar till att studenterna utvecklar sin förmåga att kommunicera matematik i tal och skrift samt att läsa matematiska texter. Kursen syftar vidare till att förbereda studenterna för fortsatta studier inom matematik och naturvetenskap.

Kursen behandlar:

• De reella talen: axiomatisk beskrivning och exempel på bevis för grundläggande räkneregler.
• De elementära funktionerna, polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen och den naturliga logaritmen, de trigonometriska funktionerna och de inversa trigonometriska funktionerna; definitioner, grundläggande egenskaper och kvantitativa approximationer med hjälp av representationer i termer av areor och båglängder.
• Talföljder och deras gränsvärden: formell definition av gränsvärden, exempel på bevis för räkneregler, visuell representation av konvergens av rekursiva talföljder, kvantitativa approximationer.
• Serier: tillämpningar av och bevis för konvergenskriterier, absolutkonvergens, numeriska approximationer med hjälp av delsummor och resttermuppskattningar.
• Funktioner och deras gränsvärden: formell definition av gränsvärden, bevis och användning av tillhörande räkneregler, oegentliga gränsvärden, asymptoter.
• Kontinuitet: kontinuitet hos elementära funktioner, satsen om mellanliggande värden och extremvärdessatsen.
• Derivator: definition, bevis och tillämpningar av räkneregler för derivator, deriveringsformler för elementära funktioner, Rolles lemma, medelvärdessatsen, LHôpitals regel.
• Tillämpningar av derivatan: optimering och kurvritning, bevistekniker för likheter och olikheter.
• Obestämda integraler: bevis för och tillämpningar av grundläggande beräkningsregler och integrationsmetoder såsom variabelbyte, partialintegration och användning av partialbråksuppdelning.
• Bestämda integraler: Darboux-integrerbarhet av monotona funktioner samt av funktioner med begränsad derivata med relaterade feluppskattningar, analysens huvudsats, tillämpningar på båglängder, rotationsvolymer och ytor, numeriska approximationer av bestämda integraler.
• Generaliserade integraler: konvergenskriterier för generaliserade integraler av positiva funktioner, absolutkonvergens, jämförelser med serier.
• Differentialekvationer: riktningsfält, lösningsmetoder för separabla eller lineära första ordningens differentialekvationer, lösningsmetod för högre ordningens lineära differentialekvationer med konstanta koefficienter. numeriska approximationer av lösningar av begynnelsevärdesproblem med Eulers metod.
• Taylorutvecklingar: Taylors formel med restterm i Lagranges form, entydighetssatsen för Taylorpolynom, numeriska approximationer av funktionsvärden och bestämda integraler med hjälp av Taylorpolynom.

Dessutom behandlas material om mängder, funktioner och relationer, induktion, binomialsatsen samt om variabler, for-loopar och if-satser i Python i början av kursen.

https://maths.lu.se/utbildning/kandidatprogram-matematik/kursutbud-matematiska-aemnen/